%#!platex
%\documentclass[Proof]{ergo}
\documentclass{ergo}
%\usepackage[dvips]{graphicx}

%\lastpagebalancingfalse%%!!

%\field{����}
\field{����}
%\field{�Z��}
%\field{�Z�p��}
%\field{����}

\Vol{34}
\No{5}
\Year{00}

\etitle{Bio-mimetic Trajectory Generation of Robots based on Human Arm Movements}

%\eauthor{Taro NINGEN}
%\eauthor{Taro NINGEN \& Jiro MINATOKU}
\eauthor{Taro NINGEN, Jiro MINATOKU \& Saburo AKASAKA}

\jtitle{�l�Ԃ̏㎈�^����͋[�������{�b�g�̋O�������@}
%\jsubtitle{---�T�u�^�C�g��---}

\received{2000}{5}{10}
\revised{2000}{6}{10}

\jauthor{�l�ԑ��Y\thanks{���{�l�ԍH�w��}{Japan Ergonomics Society}\and%
	% �`���Y\thanks{������w}{Touzai University}\THANKS{,**}\and%
	�`���Y\thanks{������w}{Touzai University} \and �ԍ�O�Y\THANKS{**,***}
}

\newcommand{\bm}[1]{\mbox{{\boldmath $#1$}}}

\begin{document}

\begin{eabstract}
	In this paper, the bio-mimetic trajectory of robots for manipulating a holding nonholonomic car is generated with a Time Base Generator (TBG).
	In order to reveal what kind of trajectories the robots should generate on the task, the experiments with subjects are performed, and it is shown that a human generates the trajectory with single or double-peaked velocity profile according to geometrical conditions of the car position.
	Then, by modeling these primitive profiles with the TBG, a new method that generates the bio-mimetic trajectory for the task of the robots is proposed.
	Finally, the trajectories are generated and compared with the human trajectories.
\end{eabstract}
\begin{abstract}
	�{�_���ł́C���Ԋ֐�������iTime Base Generator: TBG�j��p���Ĕ�z���m�~�b�N�ȎԂ𑀂郍�{�b�g�ɑ΂���l�Ԃ̏㎈�^����͋[�����O���������s���D
	�܂��͂��߂ɁC���{�b�g���ǂ̂悤�ȓ���������ׂ����𖾂炩�ɂ��邽�߁C�팱�҂�p�����������s���D
	�����āC�ݒ肵���Ԃ̈ʒu�����ɂ��C�l�Ԃ͒P��^�������͑o��^�̑��x�g�`��L����O���𐶐����邱�Ƃ������D
	���ɁC��{���x�g�`�� TBG �Ń��f�������邱�Ƃɂ��C���{�b�g���l�Ԃ̓���������������ō�Ƃ𐋍s���邽�߂̐V�����O�������@���Ă���D
	�Ō�ɁC��Ė@�ɂ�萶�����ꂽ�O���Ɗϑ����ꂽ�l�Ԃ̋O�����r��������D
\end{abstract}

\begin{keyword}
�l�Ԃ̏㎈�^��, �O�������C��z���m�~�b�N�S��, ���Ԋ֐�������
\end{keyword}

\maketitle

%---------------------------------------------
\section{�͂��߂�}
%---------------------------------------------
���{�b�g�̃n�[�h�^�\�t�g�Z�p�̌���ɔ����C�H��Ȃǐl�Ԃ̑��݂���ɍl�����Ȃ����Ŋ��􂵂Ă����]���̃��{�b�g�����łȂ��C�ƒ��I�t�B�X�Ȃǐl�Ԃ��������c�ވ�ʊ��ɂ����Đl�ԂƋ����E�������邱�Ƃ̂ł���V���ȃ��{�b�g�̊J�����������҂���Ă���D
�ŋ߂ł́C�����񑫕��s���\�Ȑl�Ԍ^���{�b�g�C������q���[�}�m�C�h�̊J��������ɂ����Ȃ��C�n�[�h�ʂł͐l�Ԃ��e�a���������₷�����{�b�g�̎������B��������� \cite{human1,human2}�D
�������Ȃ���C����I�Ȑ�����ʂɂ����ă��{�b�g�Ɛl�Ԃ̋������������邽�߂ɂ́C�O�������łȂ����̓����ɂ��l�Ԃ炵����L���邱�Ƃ��d�v�ł��낤�D

�{�_���ł́C�l�Ԃ̎�悪��z���m�~�b�N�ȍS�����󂯂��Ƃɂ����Đ�������O���ɒ��ڂ��C���R�^���Ƃ̈Ⴂ�𖾂炩�ɂ���Ƌ��ɂ��̓�����������O���̍Č������݂�\cite{icam}�D
�����ŁC��z���m�~�b�N�ȍS���𔺂���ƂƂ��āC��Ɏ�������z���m�~�b�N�ȎԂ��w�肵���n�_����I�_�ֈړ�����Ƃ����^�X�N��I�������D
�܂��͂��߂ɁC�l�Ԃ���z���m�~�b�N�ȍS���𔺂���Ƃɑ΂��Ăǂ̂悤�ȋO���𐶐����邩�𒲂ׂ邽�߁C���ۂɔ팱�҂�p�����������s���C�l�Ԃ����������ԋO���Ǝ��ԋO���̊֌W�𒲂ׂ��D
���̌��ʁC�l�Ԃ���������O���́C�����O���C${\rm S}$ ���O������юl���~�ʋO���̎O����{�O���ƂȂ�C�����̑��x�g�`�͑傫�������Ĉ�̃s�[�N�����x���^�Ɠ�̃s�[�N�����g�`�̓��ނɕ��ނł��邱�Ƃ����炩�ƂȂ����D�܂��C�^����ꂽ�Ԃ̏����E�ڕW��Ԃɂ���ẮC�؂�Ԃ��_���܂ދO������������邱�Ƃ��m�F���ꂽ�D
�����āC�����̎������ʂ����ƂɁCTBG��p���Ċ�{���x�g�`�����f�������C���{�b�g����z���m�~�b�N�ȍS���𔺂���Ƃ𐋍s���邽�߂̐V�����O�������@���Ă���D

%---------------------------------------------
\section{���Ԋ֐��������p�����O������}
%---------------------------------------------
\begin{figure}[t]
	\setlength{\unitlength}{1mm}
	\centering
	\begin{picture}(40, 20)
		\put( 0, 10) {\vector(1, 0){10}}
		\put(10,  5) {\framebox(20, 10){Sample}}
		\put(30, 10) {\vector(1, 0){10}}
	\end{picture}
	\caption{TBG ���f���̃u���b�N���}}
	\ecaption{Block diagram of the TBG model}
	\label{tbg_block}
\end{figure}

%---------------------------------------------
\subsection{TBG ���f��}
%---------------------------------------------

\begin{table}[tb]
	\caption{�\�̃T���v��}
	\ecaption{Sample of table.}
	\label{tab1}
	\begin{center}
		\begin{tabular}{ccc}\hline
			�������������������� & �������������������� \\\Hline
			�������������������� & �������������������� \\\hline
			�������������������� & �������������������� \\
			�������������������� & ��������������������
		\end{tabular}
	\end{center}
\end{table}

�}\ref{tbg_block} �Ɏ��Ԋ֐������� (Time Base Generatior: TBG) \cite{bib6} \cite{bib7} ��p�����l�Ԃ̏㎈�^�����J�j�Y���̃u���b�N���}�������D
�֐� $\xi(t)$ ��TBG�ƌĂ΂��x���^�̑��x�g�`�����X�J���֐��ł���C$ \xi (0) = 1,\xi (t_f) = 0$ �𖞂����P�������֐��ł���D
TBG ���f���ɂ�����t�B�[�h�o�b�N���䑥�́C���݈ʒu ${\bm x}$ �ƖڕW�ʒu ${\bm x}_d$ �Ƃ̌덷�� TBG �ɓ���������悤�Ȏw�ߒl���o�͂��C�����x���^�̑��x�g�`�ɂ��ڕW�ʒu�Ɏw�莞�Ԃœ��B������O���𐶐����邱�Ƃ��\�ł���D
�������Ȃ���C���ۂɐl�Ԃ��������鑬�x�g�`�͏�Ƀx���^�Ƃ͂Ȃ炸�C���̉e�����ɂ��g�`�ɑ����̘c�݂�������ꍇ������D
�����Ŗ{�_���ł́C��Ώ̂ȑ��x�g�`�̐������l�������V���� TBG ���Ă���D

���C�X�J���֐� $\xi$ �̋�����
\begin{equation}
	\dot{\xi} = - \gamma \xi^{\beta_1} ({\rm 1} -\xi)^{\beta_2}
\end{equation}
�ƒ�`����D
�������C$ \gamma $ �͎������� $t_f$ �̊֐��ł���C$\beta_1, \beta_2$ �� $\xi$ �̋��������肷�� $0<\beta_i<1$ $(i = 1, 2)$ �𖞂������萔�ł���D
�����ŁC$\beta_1 = \beta_2$ �̂Ƃ��ɏ]���� TBG�̃_�C�i�~�N�X �ƈ�v����D
���̂Ƃ��C�������� $t_f$ �̓K���}�֐� $\Gamma($�E$)$ ��p���āC
\begin{equation}
	t_f =  \int_{\rm 0}^{t_f} dt = \frac{\Gamma({\rm 1}-\beta_1) \Gamma({\rm 1}-\beta_2)}{\gamma \Gamma({\rm 2}-(\beta_1+\beta_2))}
	\label{tf}
\end{equation}
�ƂȂ�D
���������āC��(\ref{tf})�� $\gamma$ ��
\begin{equation}
	\gamma = \frac{\Gamma({\rm 1}-\beta_1) \Gamma({\rm 1}-\beta_2)}{ t_f \Gamma({\rm 2}-(\beta_1+\beta_2))}
\end{equation}
�ƒ�`����΁C$\xi$ �̎������Ԃ����R�ɐݒ肷�邱�Ƃ��ł���D

�}\ref{TBG} �́C�������Ԃ� $t_f=2.5 \; [{\rm s}]$ �Ǝw�肵�C$(\beta_1, \;\beta_2)$ $= (0.75, \; 0.5)$, $(0.75, \; 0.75)$, $(0.5, \; 0.75)$ �ƕω��������Ƃ��� $\xi$ �� $\dot{\xi}$ �̋����������Ă���D
$\beta_i$ ��ω������邱�Ƃɂ�� TBG ���������鎞�Ԕg�`�̒��߂��\�ł���C����ɂ���Ώ̂ȑ��x�g�`���\���\�ł��邱�Ƃ��킩��D

%---------------------------------------------------------------
\begin{figure}[t]
	\setlength{\unitlength}{1mm}
	\centering
	\begin{picture}(60, 40)
		\put( 0, 20) {$\xi$}
		\put(30,  0) {$time [s]$}
		\put( 5,  0) {\line(0, 1){35}}
		\put( 0,  5) {\vector(1, 0){60}}
		\put( 5, 25) {\line(1, 0){25}}
		\put(30, 25) {\line(2,-1){25}}
	\end{picture}
	\caption{TBG �̎��ԋ���}
	\ecaption{Dynamic behavior of the TBG}
	\label{TBG}
\end{figure}
%---------------------------------------------------------------

%---------------------------------------------
\subsection{���Ԏ��ϊ���g�ݍ��񂾐l�H�|�e���V�����@}
%---------------------------------------------
�c���� \cite{bib8} �́CTBG ��p�������Ԏ��ϊ���l�H�|�e���V�����@�ɑg�ݍ��ނ��Ƃɂ��C�l�Ԃ̉^���̓������������ԁE���ԋO���𐶐��\�ȋO�������@���J�����C���{�b�g�̋O�������ɓK�p���Ă���D
�����ł́C�q�g�̏㎈�^�����J�j�Y�������f�������� TBG ��p�����O�������@�ɂ��Đ�������D

��ʂɁC�^���w���f���Ɋ�Â����{�b�g�̉^��������
\begin{equation}
	\dot{{\bm x}}={\bm G}({\bm x}){\bm U}
	\label{eq1}
\end{equation}
�ƋL�q�ł���D
�������C${\bm x} \in \Re ^{n}$ �̓��{�b�g�̈�ʉ����W�C${\bm U} \in \Re ^{n}$ �͐�����͂ŁC${\rm det}\;{\bm G}({\bm x}) \neq 0$ �ł���D
�����ŁC �V�X�e���̎��Ԏ��ϊ��ŗp���鉼�z���� $s$ �𓱓����C$s$ �Ǝ����� $t$ �̊֌W�����肷�鎞�Ԏ��֐� $a(t)$  \cite{bib10} ���CTBG ��p���āC
\begin{equation}
	a(t) =  \frac{d s}{dt} = -p \frac{\dot{\xi}}{\xi}
	\label{at}
\end{equation}
�ƒ�`����D
�������C�֐� $a(t)$ �͎����� $t$ �ɂ����ĘA���ŁC$p$ �͐��̎��萔�ł���D

��(\ref{eq1})�̃V�X�e���̎��Ԏ��������� $t$ ���牼�z���� $s$ �Ɏ��Ԏ��ϊ����邱�Ƃɂ��C���z���Ԏ���̃V�X�e���C
\begin{equation}
	\frac{d {\bm x}}{d s} = \frac{d {\bm x}}{d t} \frac{d t}{d s} = {\bm G}({\bm x}) {\bm U}_s
	\label{V-sys}
\end{equation}
��������D
�������C
\begin{equation}
	{\bm U}_s = \frac{1}{a(t)} {\bm U}
	\label{V-u}
\end{equation}
�ł���D

�l�H�|�e���V�����@�́C�ڕW�ʒu ${\bm x}_d$ �ōŏ��l $V({\bm x}_d)$ $= 0$ �ƂȂ�悤�ȃ|�e���V�����֐� $V({\bm x})$ ����Ƌ�Ԃɐݒ肵�C���z�I�ɖڕW�ʒu�ւ̋z���͂𓭂����邱�Ƃɂ��C����ΏۂƂȂ郍�{�b�g��ڕW�ʒu�ɓ��B�������@�ł��� \cite{bib6}\cite{bib7}�D
���̎�@��p���Ď�(\ref{V-sys})�̉��z���Ԏ���̃V�X�e���ɑ΂��鐧�䑥 ${\bm U}_s$ ��݌v������C���䑥 ${\bm U}_s$ �̎��Ԏ��������� $t$ �ɋt�ϊ����邱�Ƃɂ��C������ $t$ �ɂ�����V�X�e���i��(\ref{eq1})�j���w�莞�� $t_f$ �ŕ��t�_�Ɏ���������t�B�[�h�o�b�N���䑥 ${\bm U}$�C
\begin{equation}
	{\bm U} = -a(t) {\bm G}^{-1}({\bm x}) \left( \frac{\partial V}{\partial {\bm x}} \right)^T
	\label{control}
\end{equation}
��������D

����܂łɁC����TBG��g�ݍ��񂾋O�������@��p���Đl�Ԃ̉^���̓�����������O���������s���Ă��� \cite{bib8} ���C�S���𔺂���Ƃɑ΂��Đ��������O���ɂ��Ă͍l������Ă��Ȃ������D
�ȉ��ł́C��z���m�~�b�N�ȍS���𔺂���Ƃɒ��ڂ��C�l�Ԃ���������O���� TBG ���f���̘g�g�݂ōČ����邱�Ƃ����݂�D

%---------------------------------------------
\section{�܂Ƃ�}
%---------------------------------------------
�{�_���ł́C��Ɏ�������z���m�~�b�N�ȎԂ̈ړ���Ƃ����グ�C�l�Ԃ̉^���p�^�[����͕킷�邱�Ƃɂ��C�l�ԂɈ�a����^���Ȃ����{�b�g�̋O�����������݂��D
���̂��߂ɂ܂��팱�҂�p�����������s���C�l�Ԃ����������{���x�g�`���P��^�Ƒo��^��2��ނƂȂ邱�Ƃ𖾂炩�ɂ����D
�����āCTBG��p�����O�������@��K�p���C���z�o�R�_����щ��z�ڕW�_�̊T�O�𓱓����邱�Ƃɂ��l�Ԃ����������{�O���̓������������ԁ^���ԋO���̐����ɐ��������D

\begin{thebibliography}{99}

\bibitem{human1}
S. Hashimoto et al.: Humanoid robot-development of an information assistant robot handaly-, in Proceedings of IEEE 8th Int. Workshop on Robot and Human Communication, 106--111, 1997.

\bibitem{human2}
K. Hirai, M. Hirose, Y. Haikawa and T. Takenaka: The development of honda humanoid robot, in Proceedings of IEEE International Conference on Robotics and Automation, 1321--1326, 1998.

\bibitem{bib6}
��, Morasso, �R��, ���q: Time Base Generator�𗘗p������z���m�~�b�N�ړ����{�b�g�̃t�B�[�h�o�b�N����, ���{���{�b�g�w�, Vol. 12, No. 7, 1072--1078, 1994.

\bibitem{bib7}
��, Morasso, �d��, ���q: �������Ԃ𒲐߉\�Ȑl�H�|�e���V�����@�ɂ��}�j�s�����[�^�̓���v��, ���{���{�b�g�w�, Vol. 13, No. 2, 285--290, 1995.

\bibitem{bib8}
�c��, ��, ���q: ���Ԏ��ϊ���g�ݍ��񂾐l�H�|�e���V�����@�ɂ��璷�}�j�s�����[�^�̃t�B�[�h�o�b�N����, �d�C�w��_���� C, Vol. 119-C, No. 4, 425--431, 1999.

\bibitem{icam}
Y. Tanaka, T. Tsuji and M. Kaneko : Trajectory formation of human arm with nonholonomic constraints, in Proceedings of 3rd International Conference on Advanced Mechatronics, Vol.2, 1--6, 1998.

\bibitem{bib10}
�O��, �Óc: ���Ԏ����l���ɓ��ꂽ����`�V�X�e���̉��, �v�������w��_���W, Vol. 22, No. 6, 604--609, 1986.

\bibitem{Canudas}
C. Canudas de Witt and O.J. S\o rdalen: Exponential stabilization of mobile robots with nonholonomic constraints, IEEE Transactions on Automatic Control, Vol. 37, No. 11, 1791--1797, 1992.

\end{thebibliography}

\appendix
%---------------------------------------------
\section*{TBG ��p�������䑥�̐݌v}
%---------------------------------------------
�O�߂ɂ����āC���{�b�g���l�ԂɈ�a����^���Ȃ�������������邽�߂ɁC�ǂ̂悤�ȋ�ԁ^���ԋO���𐶐�����ׂ��������炩�ƂȂ����D
�����ł́C�����Ŋώ@���ꂽ��{�O���̓������������ԁ^���ԋO���𐶐����邽�߂̐��䑥��݌v����D

�Ԃ̏�Ԃ͈ʒu���W $x$, $y$ �y�ѐi�s���� $\theta$ ��3�ϐ��ŕ\�����D
�������C$\Sigma_b$ �͎Ԃ̖ڕW�ʒu�����_�Ƃ������W�n�C$\Sigma_c$ �͎Ԃ̉�]���S�ɌŒ肳�ꂽ���W�n�ł���C$v$ �͎Ԃ� $x_c$ �������̑��x�C$\omega$ �͉�]�p���x�����ꂼ��\�킵�Ă���D

�Ԃ̈�ʉ����W�Ɛ������ $v$�C$\omega$ �Ƃ̊֌W����
\begin{equation}
	\dot{{\bm x}}=\left[ \matrix{ \cos \theta & 0 \cr \sin \theta & 0 \cr 0 & 1 \cr } \right] {\bm u}
\label{eq16}
\end{equation}
�ƂȂ� \cite{Canudas} �D�܂��C��(\ref{eq16})��肱�̃V�X�e���ɑ΂����z���m�~�b�N�ȍS������
\begin{equation}
	\dot{x} \sin \theta - \dot{y} \cos \theta = 0
\label{const}
\end{equation}
��������D���������āC�l�Ԃ̎��͎Ԃ𑀍삷��ہC��(\ref{const})�̔�z���m�~�b�N�ȍS�����󂯂邱�ƂɂȂ�D

���̔�z���m�~�b�N�ȃV�X�e���ɑ΂���t�B�[�h�o�b�N���䑥���C�敪��͓I�Ȏ�@ \cite{Canudas} ��p���Đ݌v����D
��ʉ����W�����݂̈ʒu����ڕW�ʒu�ւ̋��� $r$�C���݂̐i�s���� $\theta$ �ƖڕW�i�s���� $\theta _d$ �Ƃ̌덷 $\alpha$ �ɍ��W�ϊ������ \cite{bib6}
\begin{equation}
	r(x,y)=\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}
\label{eq18}
\end{equation}
\begin{equation}
	\alpha (x,y,\theta )=e+2n(e)\pi
\label{eq19}
\end{equation}
\begin{equation}
	e=\theta -{\theta }_{d}
\label{eq20}
\end{equation}
\begin{equation}
	{\theta }_{d}=2 {\rm atan2} (y,x)
\label{eq21}
\end{equation}
�ƂȂ�D�������C $n(e)$ �� $\alpha \in [-\pi , \pi )$ �𖞂����悤�Ȑ����l���Ƃ�֐��ł���D�܂��C$ {\rm atan2} \left( \cdot , \cdot \right) $ �� ${\rm atan2} (a, b) = \arg (b+ja) $ �Œ�`�����֐��� $j$ �͋����P�ʁC$\arg$ �͕��f���̕Ίp��\�킷�D
����ɂ��C���݂̎Ԃ̏�� ${\bm z}=(r$ $[{\rm m}],$ $\alpha$ $[{\rm rad}])^T$ �̎��ԕω� $\dot{{\bm z}}$ �ƃV�X�e������ ${\bm u}$ �Ƃ̊֌W�͎�(\ref{eq16})����

\begin{equation}
	\dot{{\bm z}} = {\bm B}({\bm x}){\bm u}
\label{eq22}
\end{equation}
\begin{equation}
	{\bm B} ({\bm x}) = \left[{\matrix{{b}_{1}&0\cr{b}_{2}&1\cr}}\right]
\label{eq23}
\end{equation}
\begin{equation}
	{b}_{1} = -(x \cos \theta  + y \sin \theta ) (x^2 + y^2)^{-1/2}
\label{eqb1}
\end{equation}
\begin{equation}
	{b}_{2} = 2 (y \cos \theta - x \sin \theta )  (x^2 + y^2)^{-1}
\label{eqb2}
\end{equation}
�ƂȂ�C�V�X�e���̏�ԕϐ��̐��Ɠ��͐����������Ȃ����D

��ԕϐ��ϊ��ɂ�蓾��ꂽ�V�X�e���i��(\ref{eq22})�j�ɑ΂��C�|�e���V�����֐���
\begin{equation}
	V= {\frac{1}{2}} \left( k_r r^2 + k_{\alpha} {\alpha}^2 \right)
\label{eq24}
\end{equation}
�ƒ�`����D�������C$k_r$, $k_{\alpha}$ �͐��̒萔�ł���D
���̂Ƃ���(\ref{control})���C�t�B�[�h�o�b�N���䑥 ${\bm u}$ ��
\begin{eqnarray}
	{\bm u}  & = & - \frac{1}{2} a(t) {\bm B}^{-1}({\bm x}) \left(\frac{\partial V}{\partial {\bm z}} \right)^T \nonumber \\
  		     & = & \left[{\matrix{ {k_r pr\dot{\xi} \over 2{b}_{1}\xi } \cr - {b}_{2}v + {k_\alpha p\alpha \dot{\xi } \over 2\xi }\cr}}\right]
\label{eq28}
\end{eqnarray}
�Ɛ݌v���邱�Ƃ��ł���D�������C�ڕW�ʒu�ȊO�ł� ${\rm det} {\bm B} ({\bm x}) \neq 0$ �Ɖ��肷��D
��(\ref{eq28})�̃t�B�[�h�o�b�N���䑥 ${\bm u}$ ��p���邱�Ƃɂ��C��ւ���Ȃ�Ԃ��w�肵�������ʒu����ڕW�ʒu�Ɉړ��������ԁ^���ԋO���̐������\�ƂȂ�D


\end{document}

